13 Feb | Posted by admin | no comments |
Les fonctions gaussiennes sont parmi les fonctions élémentaires mais manquent d`antidérivés élémentaires; l`intégrale de la fonction gaussienne est la fonction d`erreur. Néanmoins, leurs intégrales incorrectes sur toute la ligne réelle peuvent être évaluées exactement, en utilisant l`intégrale gaussienne plus généralement une fonction gaussienne décalée est définie comme cette intégrale est 1 si et seulement si a = 1 c 2 π {displaystyle a = {tfrac {1} {c {sqrt {2 pi}}}}} , et dans ce cas, le gaussien est la fonction de densité de probabilité d`une variable aléatoire normalement distribuée avec la valeur attendue μ = b et la variance σ2 = C2: les processus gaussiens sont utiles dans la modélisation statistique, profitant des propriétés héritées de la normale. Par exemple, si un processus aléatoire est modélisé comme un processus gaussien, les distributions de diverses quantités dérivées peuvent être obtenues explicitement. Ces quantités incluent la valeur moyenne du processus sur une plage de temps et l`erreur dans l`estimation de la moyenne à l`aide de valeurs d`échantillon à un petit nombre de fois. Un algorithme d`apprentissage automatique qui implique un processus Gaussien utilise l`apprentissage différé et une mesure de la similitude entre les points (la fonction du noyau) pour prédire la valeur d`un point invisible à partir des données d`apprentissage. La prédiction n`est pas seulement une estimation pour ce point, mais a également des informations d`incertitude — c`est une distribution gaussienne unidimensionnelle (qui est la distribution marginale à ce point). Un certain nombre de champs tels que la photométrie stellaire, la caractérisation gaussienne des faisceaux et la spectroscopie des lignes d`émission/absorption fonctionnent avec les fonctions gaussiennes échantillonnées et doivent estimer avec précision les paramètres de hauteur, de position et de largeur de la fonction. Il s`agit d`un {displaystyle a}, b {displaystyle b} et c {displaystyle c} pour une fonction gaussienne 1D, A {displaystyle A}, (x 0, y 0) {displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} et (σ x, σ y) {displaystyle (sigma _ {x}, sigma _ {y})} pour une fonction gaussienne 2D. La méthode la plus courante pour estimer les paramètres de profil est de prendre le logarithme des données et d`ajuster une parabole à l`ensemble de données résultant. [5] bien que ceci fournit une procédure simple d`ajustement de moindres carrés, l`algorithme résultant est biaisé en pondérant excessivement les petites valeurs de données, et ceci peut produire de grandes erreurs dans l`estimation de profil. On peut compenser partiellement pour cela par l`estimation pondérée des moindres carrés, dans laquelle les petites valeurs de données sont donnés de petits poids, mais cela peut aussi être partial en permettant à la queue du gaussien de dominer l`ajustement.
Afin de supprimer le biais, on peut à la place utiliser une procédure itérative dans laquelle les pondérations sont mises à jour à chaque itération (voir itérativement repondéré moindres carrés). [5] les processus gaussiens (GPs) sont la prochaine étape naturelle de ce voyage car ils offrent une approche alternative aux problèmes de régression. Ce poste vise à présenter les éléments essentiels du GPs sans aller trop loin dans les différents trous de lapin dans lesquels ils peuvent vous guider (par exemple, comprendre comment obtenir la racine carrée d`une matrice.) Les fonctions gaussiennes centrées à zéro minimisent le principe de l`incertitude de Fourier. Maintenant, nous allons observer quelques données. La fonction réelle générant les valeurs $ y $ de nos valeurs $ x $, à l`insu de notre modèle, est la fonction $ Sin $. Nous générons la sortie à nos 5 points d`entraînement, faisons l`équivalent des 4 pages mentionnées ci-dessus de l`algèbre matricielle dans quelques lignes de code Python, l`échantillon de l`postérieur et le tracer. Les fonctions gaussiennes sont analytiques, et leur limite comme x → ∞ est 0 (pour le cas ci-dessus de b = 0). Ci-dessous nous définissons les points auxquels nos fonctions seront évaluées, 50 points espacés uniformément entre-5 et 5.
Nous définissons également la fonction du noyau qui utilise l`exponentiel carré, a. k. un noyau gaussien, alias fonction de base radiale. Il calcule la distance quadratique entre les points et le convertit en une mesure de similitude, contrôlée par un paramètre d`accordage.
